Вопросы к экзамену по математическому анализу (учителя),
II курс, 4 семестр 2008/2009 учебный год.
“Несобственные интегралы. Числовые и функциональные ряды”
1. Несобственный интеграл на бесконечном промежутке.
2. Несобственный интеграл от неограниченной функции.
3. Свойства несобственных интегралов.
4. Сходимость несобственных интегралов от неотрицательных функций.
5. Абсолютная сходимость интегралов.
6. Числовой ряд и его сходимость.
7. Остаток ряда.
8. Действия над рядами.
9. Необходимый и достаточный признак сходимости ряда. Критерий Коши.
10. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд.
11. Признак сравнения.
12. Признак Даламбера.
13. Признак Коши.
14. Интегральный признак сходимости рядов.
15. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
16. Абсолютно сходящиеся ряды. Условная сходимость.
17. Перестановка членов ряда. Теорема Римана.
18. Арифметическая прогрессия.
19. Геометрическая прогрессия.
20. Сходимость функциональных последовательностей и рядов.
21. Равномерная сходимость последовательностей и рядов.
22. Признаки равномерной сходимости. Критерий Коши.
23. Признаки равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса.
24. Предел последовательности непрерывных функций и сумма ряда непрерывных функций.
25. Почленное интегрирование и дифференцирование функциональных последовательностей и рядов.
26. Степенной ряд и его сходимость. Теорема Абеля. Радиус сходимости.
27. Формула Коши-Адамара для радиуса сходимости.
28. Равномерная сходимость степенного ряда.
29. Формула Тейлора и ее остаточный член.
30. Ряд Тейлора и его сходимость.
31. Разложение функции в степенной ряд.
32. Разложение в ряд Тейлора некоторых элементарных функций.
33. Приближенные вычисления с помощью степенных рядов.
34. Числовые ряды с комплексными членами.
35. Степенные ряды в комплексной области.
36. Вычисление радиуса сходимости степенного ряда.
37. Свойства степенного ряда внутри его круга сходимости.
38. Ряд Тейлора.
39. Тригонометрические ряды. Ортогональность системы простейших функций.
40. Тригонометрические ряды. Коэффициенты Фурье и ряд Фурье данной функции.
41. Разложение функций в тригонометрические ряды.
42. Примеры разложения функций в тригонометрические ряды.
43. Разложение в ряд Фурье четной и нечетной функций. Разложение функции, заданной на отрезке [0, П].
44. Тригонометрический ряд для функции с произвольным периодом 2l.