Вопросы к экзамену по математике (1 семестр).
1. Определители. Свойства.
2. Матрицы. Виды матриц. Транспонирование матриц. Арифметические действия с матрицами (сложение, вычитание, умножение, умножение на число).
3. Матрицы: миноры матрицы, ранг матрицы, элементарные преобразования матриц, обратная матрица.
4. Линейная зависимость и линейная независимость объектов (в том числе, столбцов матрицы).
5. СЛУ: основные определения. Теорема Кронекера – Капелли. Критерий определённости.
6. Матричный метод решения СЛУ. Метод Крамера.
7. Метод Гаусса. Базисные уравнения, базисные и свободные неизвестные. Решение произвольных СЛУ.
8. Векторы (основные определения: начало, конец вектора, длина; нулевой, единичный векторы, коллинеарные, компланарные векторы; орт вектора и т.д.) Проекция вектора на ось. Теорема о проекции вектора на ось. Действия с векторами (сумма, разность, умножение на число).
9. Координаты вектора. Разложение вектора по ортам. Направляющие косинусы. Длина вектора. Действия с векторами через координаты. Скалярное произведение векторов, свойства.
10. Векторное произведение векторов.
11. Смешанное произведение векторов.
12. n-мерное пространство. Базис пространства.
13. Собственные значения и собственные вектора матрицы.
14. Уравнение прямой (на плоскости)с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой. Угол между прямыми. Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении.
15. Уравнения прямой на плоскости: через 2 точки, каноническое, в отрезках.
16. Взаимное расположение прямых на плоскости (пересечение, параллельность). Расстояние от точки до прямой.
17. Эллипс (определение, каноническое уравнение, оси, вершины, фокусы, директрисы, центр, эксцентриситет).
18. Гипербола (аналогично).
19. Парабола (аналогично).
20. Плоскость: общее уравнение, расстояние от точки до плоскости, нормальное уравнение.
21. Плоскость: уравнение через 3 точки, в отрезках. Угол между плоскостями.
22. Прямая в пространстве: канонические уравнения, через 2 точки, параметрические.
23. Общие уравнения прямой в пространстве. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.
24. Функция. Способы задания. График функции.
25. Возрастающие и убывающие, чётные и нечётные функции. Обратная, сложная функции. Основные элементарные функции, свойства. Элементарные функции.
26. Последовательности. Способы задания последовательностей. Виды последовательностей. Предел последовательности. Теорема о пределе последовательности.
27. Предел функции. Свойства функций, имеющих предел.
28. Бесконечно малые функции. Свойства.
29. Бесконечно большие функции. Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций.
30. Свойства пределов функций.
31. I замечательный предел (вывод). (см. Шипачев)
32. II замечательный предел (вывод). (см. Шипачев)
33. Непрерывность функции. Необходимое и достаточное условие. Свойства функций, непрерывных в точке.
34. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Точки разрыва, классификация. Непрерывность элементарных функций.
35. Производная функции. Геометрический смысл. Физический смысл. Необходимое условие существования производной. Пример (с модулем).
36. Правила дифференцирования (вывод).
37. Вывод 3-х производных (будут указаны). (Знать выводы всех).
38. Производная сложной, обратной функции. Логарифмическое дифференцирование. Производные высших порядков.
39. Дифференцируемость функции. Необходимое и достаточное условие. Дифференциал функции. Свойства. Применение dy к приближенным вычислениям.
40. Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Формула конечных приращений. Правило Лопиталя.
41. Возрастание, убывание функции. Теоремы.
42. Экстремум функции. Теоремы.
43. Выпуклость, вогнутость графика функции. Перегиб. Теоремы.
44. Асимптоты кривой. Схема исследования функции.